|
1 Funktionen einer reellen Variablen in ökonomischen Problemen |
14 |
|
|
1.1 Mathematische Grundbegriffe |
14 |
|
|
1.1.1 Funktionsbegriff |
14 |
|
|
1.1.2 Ein Funktionenreservoir |
18 |
|
|
1.1.3 Eigenschaften von Funktionen |
22 |
|
|
1.1.4 Umkehrfunktion |
25 |
|
|
1.2 Funktionen für ökonomische Zusammenhänge |
30 |
|
|
1.3 Funktionen und ökonomisches Wachstum |
31 |
|
|
Aufgaben 1.1 bis 1.18 |
34 |
|
|
2 Differenzialrechnung für Funktionen einer reellen Variablen in ökonomischen Problemen |
37 |
|
|
2.1 Einführung |
37 |
|
|
2.2 Mathematische Grundlagen |
38 |
|
|
2.2.1 Grenzwert |
38 |
|
|
Aufgaben 2.1 bis 2.6 |
44 |
|
|
2.2.2 Stetigkeit |
45 |
|
|
2.2.3 Ableitung |
48 |
|
|
Aufgaben 2.7 bis 2.15 |
56 |
|
|
2.2.4 Differenzial |
57 |
|
|
Aufgabe 2.16 |
61 |
|
|
2.2.5 Untersuchung von Funktionen mithilfe ihrer Ableitungen |
61 |
|
|
Aufgaben 2.17 und 2.18 |
67 |
|
|
2.2.6 Nichtlineare Gleichungen in ökonomischen Problemen und deren Lösung |
67 |
|
|
Aufgaben 2.19 und 2.20 |
71 |
|
|
2.3 Ökonomische Probleme und Ableitungen von Funktionen |
72 |
|
|
Aufgaben 2.21 bis 2.29 |
79 |
|
|
2.4 Reagibilität und Ableitungen |
80 |
|
|
Aufgaben 2.30 bis 2.41 |
97 |
|
|
2.5 Extremwertaufgaben der Ökonomie |
99 |
|
|
2.5.1 Extrema für Kostenfunktionen |
99 |
|
|
Aufgaben 2.42 bis 2.48 |
110 |
|
|
2.5.2 Gewinnmaximum |
111 |
|
|
Aufgaben 2.49 bis 2.57 |
141 |
|
|
2.6 Die Regel von de l'Hospital |
143 |
|
|
Aufgabe 2.58 |
146 |
|
|
2.7 Reihen und Potenzreihen |
146 |
|
|
2.7.1 Reihen |
146 |
|
|
2.7.2 Potenzreihen |
151 |
|
|
2.8 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe |
154 |
|
|
2.8.1 MacLaurinsche Reihen |
154 |
|
|
2.8.2 Allgemeine Taylor-Reihen |
158 |
|
|
Aufgaben 2.59 bis 2.61 |
159 |
|
|
2.9 Komplexe Zahlen |
160 |
|
|
2.9.1 Definition und Darstellung komplexer Zahlen |
160 |
|
|
2.9.2 Das Rechnen mit komplexen Zahlen |
164 |
|
|
3 Funktionen mit mehreren Veränderlichen |
170 |
|
|
3.1 Definition und Darstellungsform von Funktionen mit mehreren Veränderlichen |
170 |
|
|
3.2 Partielle Differenziation |
173 |
|
|
Aufgaben 3.1 bis 3.3 |
176 |
|
|
3.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung |
176 |
|
|
Aufgabe 3.4 |
178 |
|
|
3.4 Tangentialebene und das totale Differenzial |
179 |
|
|
3.4.1 Geometrische Betrachtungen |
179 |
|
|
Aufgabe 3.5 |
180 |
|
|
3.4.2 Das totale Differenzial |
180 |
|
|
3.5 Spezielle Ableitungstechniken |
182 |
|
|
3.5.1 Differenziation nach einem Parameter |
182 |
|
|
3.5.2 Implizite Differenziation |
183 |
|
|
3.6 Anwendungen |
183 |
|
|
3.6.1 Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme |
184 |
|
|
3.6.2 Lokale Extrema und Sattelpunkte |
186 |
|
|
3.6.3 Fehlerrechnung |
191 |
|
|
3.6.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen |
192 |
|
|
Aufgaben 3.6 bis 3.8 |
195 |
|
|
4 Integralrechnung |
196 |
|
|
4.1 Integration als Umkehrung der Differenziation – das unbestimmte Integral |
196 |
|
|
Aufgaben 4.1 bis 4.3 |
203 |
|
|
Aufgabe 4.4 |
204 |
|
|
4.2 Das bestimmte Integral – Hauptsatz der Integralrechnung |
205 |
|
|
Aufgaben 4.5 und 4.6 |
210 |
|
|
4.3 Uneigentliche Integrale |
210 |
|
|
4.4 Geometrische Anwendungen |
212 |
|
|
4.4.1 Flächenberechnung |
212 |
|
|
4.4.2 Länge einer Kurve |
214 |
|
|
4.4.3 Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern |
215 |
|
|
4.5 Anwendung der Integralrechnung in ökonomischen Zusammenhängen |
217 |
|
|
4.6 Numerische Integration |
220 |
|
|
Aufgabe 4.7 |
222 |
|
|
4.7 Doppelintegrale |
222 |
|
|
4.7.1 Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten |
222 |
|
|
4.7.2 Doppelintegrale in Polarkoordinaten |
225 |
|
|
Aufgabe 4.8 |
228 |
|
|
5 Lineare Algebra in Betriebs- und Volkswirtschaft |
229 |
|
|
5.1 Einführende Beispiele ökonomischen Inhalts |
229 |
|
|
Aufgaben 5.1 und 5.2 |
232 |
|
|
5.2 Mathematische Grundlagen der Matrizen- und Vektorrechnung |
232 |
|
|
5.2.1 Matrizen und Vektoren sowie ihre Spezifizierungen |
233 |
|
|
Aufgaben 5.3 und 5.4 |
237 |
|
|
5.2.2 Rechnen mit Matrizen und Vektoren |
237 |
|
|
Aufgaben 5.5 bis 5.8 |
246 |
|
|
5.2.3 Inverse Matrix |
246 |
|
|
Aufgaben 5.9 bis 5.12 |
252 |
|
|
5.2.4 Gaussscher Algorithmus |
253 |
|
|
Aufgaben 5.13 und 5.14 |
258 |
|
|
5.2.5 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren |
259 |
|
|
Aufgaben 5.15 bis 5.17 |
263 |
|
|
5.3 Matrizen und Vektoren in Betriebs- und Volkswirtschaft |
264 |
|
|
Aufgaben 5.18 bis 5.22 |
273 |
|
|
5.4 Mathematische Grundlagen linearer algebraischer Gleichungssysteme |
276 |
|
|
5.4.1 Einführung |
276 |
|
|
5.4.2 Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme: Begriff und Methode |
278 |
|
|
Aufgaben 5.23 bis 5.25 |
281 |
|
|
5.4.3 Gaussscher Algorithmus zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme |
282 |
|
|
Aufgaben 5.26 bis 5.30 |
292 |
|
|
5.4.4 Basislösungen |
293 |
|
|
Aufgaben 5.31 bis 5.36 |
299 |
|
|
5.4.5 Zusammenfassende Aussagen über lineare algebraische Gleichungssysteme |
300 |
|
|
Aufgaben 5.37 bis 5.40 |
302 |
|
|
5.5 Lineare algebraische Gleichungssysteme in Betriebs- und Volkswirtschaft |
303 |
|
|
Aufgaben 5.41 und 5.42 |
311 |
|
|
5.6 Determinante einer Matrix |
312 |
|
|
Aufgaben 5.43 und 5.44 |
315 |
|
|
5.7 Das Eigenwertproblem für quadratische Matrizen |
316 |
|
|
Aufgabe 5.45 |
320 |
|
|
6 Lineare Optimierung in Volkswirtschaft und Betriebswirtschaft |
321 |
|
|
6.1 Problemstellungen und Grundbegriffe |
321 |
|
|
6.1.1 Aufgabenstellung und Beispiele |
321 |
|
|
6.1.2 Das Rechnen mit Ungleichungen |
324 |
|
|
6.1.3 Die grafische Lösung |
327 |
|
|
6.1.4 Allgemeine mathematische Formulierung des linearen Optimierungsproblems |
332 |
|
|
6.2 Der Simplex-Algorithmus |
334 |
|
|
6.2.1 Die Grundideen des Simplex-Verfahrens |
334 |
|
|
6.2.2 Der Austauschschritt im Simplex-Tableau |
335 |
|
|
6.2.3 Die Simplex-Regeln |
339 |
|
|
6.2.4 Der Simplex-Algorithmus (Phase II) |
341 |
|
|
6.2.5 Theoretische Ergänzungen und Sonderfälle |
342 |
|
|
6.3 Der Simplex-Algorithmus für allgemeine lineare Programme |
344 |
|
|
6.3.1 Minimumprobleme, Gleichungsrestriktionen, Varianten der Vorzeichenbeschränkungen, obere und untere Schranken |
344 |
|
|
6.3.2 Simplex-Algorithmus: Phase I und Phase II |
347 |
|
|
6.4 Dualität |
349 |
|
|
6.4.1 Primal-Dual Beziehung und Dualitätssätze |
349 |
|
|
6.4.2 Primal-Dual Beziehung und Komplementarität |
352 |
|
|
6.4.3 Dualer Simplex-Algorithmus (Phase III) |
354 |
|
|
6.4.4 Ökonomische Interpretationen der Größen in den Simplex-Tableaus |
357 |
|
|
6.5 Weiterführende Aspekte |
358 |
|
|
6.5.1 Modellbildung |
358 |
|
|
6.5.2 Spezialfälle linearer Optimierung |
360 |
|
|
6.5.3 Sensitivitätsanalyse bei der linearen Optimierung |
363 |
|
|
6.5.4 Parametrische (lineare) Optimierung |
364 |
|
|
6.5.5 Effizienz und Vergleich von LP-Solvern |
364 |
|
|
6.5.6 Ganzzahlige lineare Optimierung |
364 |
|
|
6.5.7 Nichtlineare Optimierung |
365 |
|
|
Aufgaben 6.1 bis 6.11 |
365 |
|
|
7 Finanzmathematik |
369 |
|
|
7.1 Zinsrechnung |
370 |
|
|
7.1.1 Einfache Zinsen und Zinseszinsen |
370 |
|
|
7.1.2 Vorschüssige Verzinsung |
376 |
|
|
7.1.3 Gemischte Verzinsung |
378 |
|
|
7.1.4 Unterjährige Verzinsung |
379 |
|
|
7.1.5 Stetige Verzinsung |
381 |
|
|
Aufgaben 7.1 bis 7.11 |
382 |
|
|
7.2 Barwert, Äquivalenz und Rendite |
383 |
|
|
7.2.1 Barwert und Äquivalenz |
383 |
|
|
7.2.2 Kapitalwertmethode |
385 |
|
|
7.2.3 Rendite |
387 |
|
|
7.2.4 Mittlerer Zahlungstermin und Duration |
391 |
|
|
Aufgaben 7.12 bis 7.20 |
392 |
|
|
7.3 Rentenrechnung |
393 |
|
|
7.3.1 Nachschüssige und vorschüssige Renten |
393 |
|
|
7.3.2 Aufgeschobene, abgebrochene und ewige Rente |
399 |
|
|
7.3.3 Jährliche Verzinsung – unterjährige Rentenzahlung |
401 |
|
|
7.3.4 Unterjährige Verzinsung |
406 |
|
|
Aufgaben 7.21 bis 7.31 |
407 |
|
|
7.4 Kreditrechnung |
409 |
|
|
7.4.1 Grundbegriffe |
409 |
|
|
7.4.2 Ratentilgung |
411 |
|
|
7.4.3 Annuitätentilgung |
411 |
|
|
7.4.4 Unterjährige Verzinsung, Tilgung und Rückzahlung |
415 |
|
|
7.4.5 Ratenkredit |
422 |
|
|
Aufgaben 7.32 bis 7.41 |
423 |
|
|
7.5 Kurs- und Renditerechnung |
425 |
|
|
7.5.1 Grundlagen |
425 |
|
|
7.5.2 Zinsschuld |
426 |
|
|
7.5.3 Annuitätenschuld |
430 |
|
|
Aufgaben 7.42 bis 7.48 |
434 |
|
|
7.6 Abschreibung |
435 |
|
|
7.6.1 Grundlagen |
435 |
|
|
7.6.2 Lineare Abschreibung |
436 |
|
|
7.6.3 Geometrisch-degressive Abschreibung |
437 |
|
|
7.6.4 Weitere Abschreibungsarten |
438 |
|
|
7.6.5 Vergleich linearer und geometrisch-degressiver Abschreibung |
440 |
|
|
Aufgaben 7.49 bis 7.55 |
442 |
|
|
7.7 Weitergehende Betrachtungen |
443 |
|
|
7.7.1 Rendite und Risiko |
443 |
|
|
7.7.2 „Neuere“ Finanzprodukte |
445 |
|
|
Aufgaben 7.56 bis 7.58 |
446 |
|
|
8 Weitere praktische Probleme und deren Lösung |
447 |
|
|
8.1 Nichtlineare Optimierung |
447 |
|
|
8.1.1 Problemstellung, Grundlagen und grafische Lösungen |
448 |
|
|
8.1.2 Karush-Kuhn-Tucker-Theorie (KKT-Theorie) |
455 |
|
|
8.1.3 Nichtlineare Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen |
459 |
|
|
8.1.4 Bausteine der allgemeinen NLP-Techniken (Übersicht) |
461 |
|
|
Aufgaben 8.1 bis 8.5 |
463 |
|
|
8.2 Problemlösungen mit einem Standard-Software-System |
463 |
|
|
8.2.1 (Allgemeine) LP-Probleme |
464 |
|
|
8.2.2 Ausgewählte NLP-Probleme |
468 |
|
|
8.2.3 Portfolio-Probleme |
469 |
|
|
8.2.4 Transportprobleme |
472 |
|
|
8.2.5 Zuordnungsprobleme |
474 |
|
|
8.2.6 Netzwerkprobleme |
475 |
|
|
8.2.7 Netzplantechniken |
477 |
|
|
8.2.8 Kundenwanderung |
484 |
|
|
8.2.9 Verwaltung von Modellen: Algebraische Eingabe und Solver |
486 |
|
|
Lösungen |
489 |
|
|
Literaturverzeichnis |
522 |
|
|
Sachwortverzeichnis |
524 |
|